Integração por partes

Integração por partes se resume na definição:

u dv = uv - v du

Ex.: sen x e^x dx

Vamos separar u, e dv, e descobrir du e v:

u = sen x ; du = cos x dx ; dv = e^x dx ; v = e^x

e^x sen x = e^x sen x - e^x cos x dx

Vamos resolver a nova integral e^x cos x dx, também por partes:

cos x e^x dx

u = cos x; du = -sen x dx; dv = e^x dx; v=e^x  (Não colocamos a constante C, pois ela aparecerá na expressão final da integral). Note que nas duas integrais, v = e^x. sempre temos que procurar utilizar os mesmos u e dv nas integrais que se fizerem numa integração por partes.

cos x e^x dx = e^x cos x - e^x (-sen x) dx.

Arrumando, temos:

cos x e^x dx = e^x cos x + e^x sen x dx.

Como tínhamos:

e^x sen x dx = e^x sen x - e^x cos x dx

Ficamos com a expressão:

e^x sen x dx = e^x sen x - e^x cos x - e^x sen x dx.

2e^x sen x dx = e^x sen x - e^x cos x

e^x sen x dx = e^x [sen x - cos x] / 2 + C