Integração por

substituição trigonométrica

A integração por substituição trigonométrica consiste nas três substituições seguintes:

1º caso: .

Neste caso, para explicar a substituição a ser feita, utilizamos a identidade trigonométrica tg²u + 1 = sec²u.
Se na expressão , substituírmos x = a tg u, então, usando a identidade trigonométrica acima, temos:

a² + a²tg²u = a²(1+tg²u) = a²sec²u, que, tirando a raiz quadrada, temos a sec u.

Logo = a sec u

Ex.: (1 / ) dx

Substitui-se x = 6 tg u. e dx = 6sec²u du.

(1 / ) dx = (1 / 6sec u ) 6sec²u du = sec u du = ln |sec u + tg u| + C

Retornando-se à variável inicial x, temos:

x = 6 tg u --> u = arc tg x/6.

(1 / ) dx = ln |sec u + tg u| + C

Substituíndo u = arc tg x/6: 

(1 / ) dx = ln |sec (arc tg x/6) + x/6| + C

2º caso: .

Neste caso, para explicar a substituição a ser feita, utilizamos a identidade trigonométrica sen²u + cos²u = 1.
Se na expressão , substituírmos x = a sen u, então, usando a identidade trigonométrica acima, temos:

a² - a²sen²u = a²(1 - sen²u) = a²cos²u, que, tirando a raiz quadrada, temos a cos u.

Logo = a cos u

Ex.: (1 / ) dx

Substitui-se x = 9 sen u. e dx = 9 cos u du.

(1 / ) dx = (1 / 9 cos u ) 9 cos u du = du = u + C = arc sen (x / 9) + C

3º caso:

Neste caso, utilizaremos a identidade trigonométrica sec²u - 1 = tg²u, que é um algebrismo da identidade trigonométrica apicada no 1º caso. Então temos:

a²sec²u - a² = a²(sec²u - 1) = a²tg²u.

Logo, = a tg u.

Ex.: 1 / dx. Substitui-se x = 12 sec u, e a sua derivada será dx = 12 sec u tg u du.

1 / dx = 12 sec u tg u du / 12 tg u = sec u du = ln | sec u + tg u | + C

Retornando-se à variável x, de onde partimos:

u = arc sec x / 12 --> 

ln | sec u + tg u | + C = ln | x/12 + tg(arc sec x/12) | + C