Propriedades das

Transformadas de Fourier

Vamos descrever aqui algumas das propriedades das transformadas de Fourier

1) Escala no tempo (Compressão e expansão)

 g(t) <-> G(f)

Demonstração:

[g(at)] = g(at)e^-j2pftdt

Vamos substituir na integral at=u, t=u/a, dt = (1/a)du:

g(u)e^-j2p(f/a)u(1/a)du = (1/a)g(u)e^-j2p(f/a)udu =

 

2) Dualidade

Se g(t) <-> G(f), então G(t) <-> g(-f)

Ex.: g(t) = A rect (t/T) <-> G(f) = ATsinc(fT)

Pela propriedade, 

Se eu calcular AT sinc (Tt) <-> A rect (-f/T)

g(t) = sinc²(t) <-> triangulo(f) (Essa função é nula nas abscissas -1 e 1, e tem valor máximo 1 na abscissa 0)

Obs.: 

sinc(x) = sen(x) / x.
rect(t) = 0 para t<-1/2 e para t>1/2.
rect(t) = 1 para -1/2 <= t <= 1/2

 

3) Deslocamento no tempo

g(t) <-> G(f)

g(t - t_o) <-> G(f)e^-j2pfto

Ex.: g(t)= rect(t):

rect(t) <-> sinc(f)

rect(t-4) <-> sinc(f)e^-j8pf

 

4) Deslocamento na frequência 

g(t) <-> G(f)

g(t)e^j2pfot <-> G(f - f_o)

 

5) Derivada:

g(t) <-> G(f)

d[g(t) / dt] <-> j2pf[G(f)]

Ex.: Consideremos uma rampa: g(t) = 0 para t<0 e t>1; g(t) = t, para 0<t<1.

Pela propriedade, sabemos que a transformada da derivada da rampa será a transformada da função multiplicada por j2pf.

Calculando a derivada:

dg(t)/dt = 1 para t<0 e t>1; e 0 para t<0 e t>1.

Essa função resultante corresponde à rect(t) deslocada 1/2 para a direita, ou rect (t - 1/2), já que a verdadeira função rect(t) é 0(zero) para t<-1/2 e t>1/2 e 1 para -1/2<t<1/2.

Assim ficará fácil achar a transformada da função rect (t - 1/2), usando a já citada propriedade 3, que é o deslocamento no tempo:

rect (t) <-> sinc (f)

rect (t - 1/2) <-> sinc(f)e^-j2pf(1/2) = sinc(f)e^-jpf

Essa é a transformada da derivada da função rampa do enunciado. Para achar a real tranformada, teremos que dividir o resultado encontrado por j2pf.

f(t)_enunciado <-> sinc(f)e^-jpf / j2pf

 

6) Integral:

g(t) <-> G(f)

[g(t)]dt <-> G(f) / j2pf